Die erste wichtige Anwendung der Boltzmann-Verteilung

Okay, hallo, guten Morgen allerseits.

Wir haben gerade begonnen, uns die ersten wichtigen Anwendungen der Boltzmann-Verteilung anzuschauen.

Und das aller, aller einfachste Quantensystem, das man sich anschauen kann, ist eben das Zwei-Niveau-System.

Und das ist tatsächlich nicht nur ein einfaches didaktisches Beispiel,

sondern das ist eines der wichtigsten Quantensysteme überhaupt mit ganz vielen Anwendungen.

Und deswegen sollten wir uns das ganz genau anschauen.

Ich will nochmal kurz wiederholen, auf was wir das letzte Mal gestoßen waren.

Wir haben hier irgendwie ein Zwei-Niveau-System mit zwei Energieniveaus, nennen wir sie E0 und E1.

Und im thermischen Gleichgewicht wird natürlich Folgendes passieren.

Je nach Temperatur werde ich im angeregten Zustand mehr oder weniger Wahrscheinlichkeit haben,

in jedem Fall aber im Grundzustand die größere Wahrscheinlichkeit.

Und wenn ich dann die Temperatur ansteigen lasse,

dann wird irgendwann eine Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten eintreten.

Und diese Wahrscheinlichkeiten berechnen wir natürlich nach der kanonischen oder Boltzmannverteilung.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für den Zustand n, den anzutreffen bei einer Messung des Zwei-Niveau-Systems,

das ist gegeben durch E hoch minus Beta mal En, dividiert durch Z, die Zustandssumme.

Und in dem Fall hier wäre die Zustandssumme eben nur die Summe über diese beiden Niveaus,

E hoch minus Beta E0 plus E hoch minus Beta E1.

Wir hatten uns dann schon angeschaut, wie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aussehen

und vor allem, wie sie sich als Funktion der Temperatur verhalten.

Das war einfach genug, das ist einfach jetzt nur quantitativ das, was ich schon in Worten gesagt habe.

Wenn ich die Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Temperatur auftrage, dann ist es so,

bei großen Temperaturen werden beide ein Halb sein,

weil der Energieunterschied ist dann praktisch unwichtig im Vergleich zur thermischen Energie.

Und bei Temperatur gleich Null wird sich alles im Grundzustand versammelt haben.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit im Grundzustand zu sein P0 ist 1 und fällt dann ab,

während die Wahrscheinlichkeit im angeregten Zustand zu sein beginnt bei Null und wächst dann an.

Und natürlich ist die Summe immer 1, deswegen ist das hier symmetrisch um die ein Halb.

Okay, und wir hatten uns dann insbesondere schon angeschaut, die verschiedenen Größen wie Energie, freie Energie und Entropie.

Und ich hatte das letzte Mal, glaube ich, Schluss gemacht, indem ich die Entropie als Funktion der Temperatur diskutiert habe.

Das können wir auch noch mal hinzeichnen.

Die Entropie dividiere ich gern durch die Boltzmann-Konstante, damit sie dann dimensionslos wird.

Und ich trage es wieder auf gegen die thermische Energie.

Und was finde ich dann, dass wir beginnen im Grundzustand, und das bedeutet in einem einzigen Zustand,

und die Entropie ist dann Null, weil der Logarithmus aus 1 Null ist.

Und dann kann die Entropie maximal anwachsen auf K Boltzmann, weil der Logarithmus aus 2,

und am Ende bin ich eben über zwei Zustände gleich verteilt.

Und was man sich fragen muss, wenn man solche Graphen skizziert ist, was sind die typischen Skalen, auf denen sich was ändert?

Also hier wäre die Frage, wie weit muss ich denn gehen, damit es hier ungefähr auf Logarithmus 2 anwächst,

oder wie weit muss ich gehen, damit es hier ungefähr auf ein Halb anwächst.

Und in dem Fall haben wir nur eine relevante Energieskala, und das ist eben die Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen.

Denn die absolute Lage, die beiden Energieniveaus, die kann wirklich nichts ausmachen,

es sei denn man rechnet die Energie oder die freie Energie aus, dann wird die natürlich davon abhängen.

Aber solche Fragen wie die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten können nur von dem Energieabstand abhängen.

Und deswegen ist auch die typische Energieskala in Bezug auf die thermische Energie,

auf der sich all diese Größen ändern, eben dieser Abstand der Energieniveaus.

Okay. Als nächstes können wir uns anschauen, zum Beispiel wie die freie Energie mit der Temperatur verläuft,

um uns dann auch zu fragen, wie würde die Wärmekapazität aussehen.

Gut, die mittlere Energie ist offenbar diese Energien gewichtet mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.